Black – Scholes – Merton Pricing Model
Introduction
Développé par Fisher Black, Myron Scholes et Robert Merton en 1973, le modèle de Black – Scholes – Merton permet d’évaluer le juste prix d’une option grâce à la détention d’un sous – jacent et de cash. La formule de Black – Scholes est également utilisée pour construire et évaluer des portefeuilles sans risque. C’est pour leur travail sur cette formule d’évaluation d’options – aujourd’hui très répandue sur les marchés financiers – que Merton et Scholes on reçu le prix Nobel d’économie en 1997. En effet, ce modèle mathématique, connu comme « Black – Scholes Model » est considéré comme une avancée fondamentale pour la finance moderne, est énormément utilisé pour déterminer le prix d’options avec l’aide de cinq paramètres :
1. Le prix du sous-jacent à l‘émission (strike)
2. Le prix du sous-jacent à la date de constatation
3. La durée à l’échéance
4. Le Taux d’Intérêt sans risque
5. La volatilité
Il est utilisé massivement pour calculer la valeur théorique d’options en fonction du prix de leur sous-jacent, des dividendes attendus, de la durée à l’échéance, et la volatilité attendue. En effet, il est important de souligner que l’expérience a montré que Black – Scholes ne permet pas de modéliser précisément des options dans le monde réel.
Modèle de Black & Scholes

Ce modèle a tout d’abord été défini pour permette d’évaluer des options européennes, qui ne payent pas de dividendes: Black-Scholes repose sur la thèse fondamentale que le prix d’une option est indiqué implicitement lorsque le sous-jacent est échangé sur les marchés. Ce modèle repose sur différentes conditions, qui correspondent à peu près (mais pas exactement) aux marchés financiers:

  1. Les prix des sous-jacents suivent un mouvement brownien géométrique

2. La volatilité est connue à l’avance, et est constante

3. Il est possible d’acheter et de vendre le sous-jacent sans frai et à tout moment

4. Le short-selling (vente à découvert) est autorisé

5. Il n’y a pas de dividendes

6. Le taux d’intérêt est connus à l’avance et sans risques, et est constant

7. Il s’agit d’une option européenne (l’option ne peut être exercée qu’à maturité)

 

La formule de Black – Scholes

 

Les extensions de la formule de Black – Scholes

D’abord formulée pour le pricing d’options européennes, ne payant pas de dividendes, l’usage de cette formule et du modèle de Black-Scholes a ensuite été étendu aux instruments payant des dividendes : En effet sur certains indices, il est possible de supposer que des dividendes seront payés sans interruption, et la formule de Black-Scholes a été retravaillée afin de pouvoir inclure le paiement de dividendes au cours d’une période de temps donnée.

 

Conclusion

Très utilisée sur les marchés financiers, le modèle de Black-Scholes est un modèle mathématiques dans lequel le prix de l’action (sous-jacente) suit un processus stochastique, et permet de calculer (en théorie), le juste prix d’une option.

Toutefois, bien que très utilisé, le modèle de Black-Scholes reste un modèle théorique qui n’est pas toujours adapté aux conditions des marchés financiers, et est un modèle critiqué par certains mathématiciens. En effet, le modèle de Black-Scholes repose fondamentale sur l’intuition que le prix des sous-jacents suivent une distribution normale (autrement dit, une courbe en cloche), et sous-estiment la possibilité d’évènements improbables et ne prévoient donc pas de tels évènements (comme des crises, des krachs, etc.). De plus, les conditions définies plus tôt son également critiquées, car ce sont des hypothèses peu réaliste quant aux réalités des marchés financiers: par exemple, nombreuses sont les questions autour l’hypothèse de la rationalité des investisseurs. Nicholas Taleb, ancien trader, et philosophe du hasard et de l’incertitude soutient que bien que la formule de Black-Scholes soit cohérente d’un point de vue théorique et  mathématique, elle repose sur des hypothèses simplifiantes, qui éloignent trop le modèle de la réalité des marchés financiers.

 

Bibliographie

http://www.fifrance.com/modele_black-scholes.php

https://www.techno-science.net/definition/6256.html

http://financedemarche.fr/finance/le-modele-de-black-scholes-pour-levaluation-dune-option-avec-un-exemple-numerique

https://www.investopedia.com/terms/b/blackscholes.asp

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