Culture point 24.10.2021

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Culture point 24.10.2021

La théorie moderne de la gestion de portefeuille.

 

Dans l’article de ce dimanche, nous allons voir comment Markowitz a transformé la gestion de portefeuille grâce à sa nouvelle approche, apparue dans les années 50 cette nouvelle théorie introduit de nouveaux outils mathématiques permettant d’appréhender de manière différente la gestion de portefeuille. Outre les différents outils mathématiques développés, Markowitz reprend et approfondit des concepts déjà existant comme la diversification du portefeuille qui prendra ici, une place très importante car avec l’approche de Markowitz nous allons pouvoir quantifier le risque diversifiable du risque non-diversifiable.
Dans cet article nous allons voir, les différentes hypothèses sur lesquelles Markowitz se repose pour développer son approche, mais également le processus mathématique permettant l’optimisation du portefeuille, enfin nous finirons avec une analyse graphique de la frontière efficiente.

Pour poser les bases de la théorie moderne de la gestion de portefeuille, Markowitz suppose que les agents économiques (ici les investisseurs) sont tous rationnels et averses aux risques. Ici le concept de rationalité, fait référence aux préférences d’un actif plutôt qu’à un autre en termes de couple de rentabilité-risque.
Ces hypothèses impliquent qu’un investisseur construit son portefeuille de manière logique aux vues des informations qui lui sont transmises, ce qui limite l’introduction de valeurs dans le portefeuille n’ayant pas d’importance en termes de rentabilités et pouvant avoir une valeur d’attache.
Pour illustrer ce que nous venons d’expliquer, nous allons prendre l’exemple de deux titres cotés au CAC 40. Total possède un couple rentabilité-risque de (11% – 7%), tandis que Véolia (11% – 4%).
Afin que l’illustration soit plus simple nous avons fixé la rentabilité à un même niveau de 11%, si l’investisseur est totalement rationnel alors il décide d’inclure dans son portefeuille Véolia qui propose la même rentabilité que Total mais a un risque moins élevé de 3 points.
Nous reverrons ces concepts en fin d’article lorsque nous étudierons la frontière efficiente de Markowitz.

L’objectif de cette nouvelle approche est d’optimiser chaque portefeuille en fonction du risque pour un niveau de rentabilité donné.
Pour atteindre son but, Harry Markowitz va créer un programme d’optimisation matriciel qui comprend la matrice de variances-covariances ainsi que des vecteurs de contraintes et de rentabilités.
Nous ne rentrerons pas dans le détail des calculs, cependant nous allons présenter les différentes composantes qui sont incluses de ce modèle.

La première composante est la matrice colonne de rentabilité, qui se présente sous cette forme :

Cette matrice enregistre autant de ligne qu’il y a d’actifs compris dans le portefeuille, les données inscrites sont en décimales afin de faciliter le calcul, exemple :

Ceci traduit que l’actif A a une rentabilité de 12% et l’actif B de 25%.
Ensuite, la seconde composante majeure est la matrice de variance-covariance des actifs, cette dernière contient les variances des actifs sur sa diagonale et la covariance des titres. Il en va de même que pour le vecteur de rentabilité, cette matrice est de dimension NxN où N est le nombre d’actifs détenus dans le portefeuille.

Voici une illustration de la matrice de variances-covariances :

Markowitz a légèrement modifié cette matrice en ajoutant des vecteurs de contraintes comme le vecteur de rentabilités par exemple.

Voici la matrice que Markowitz utilise :

En rouge, la matrice de variance-covariance.
En violet le vecteur des rentabilités.
En blanc un vecteur de contrainte.

Enfin, la dernière composante permettant de calculer les poids optimaux d’un portefeuille s’appelle le vecteur de contraintes K qui est composé d’autant de zéro qu’il y a d’actifs dans le portefeuille et de deux autres informations nécessaires qui sont la rentabilité souhaitée et une contrainte indiquant que la somme des poids du portefeuille doit être égale à un.

Grâce à ces outils Markowitz a la capacité de simuler un nombre de portefeuilles conséquents et ainsi représenter de manière précise la relation entre la rentabilité et le risque pour les différentes pondérations du portefeuille.
Cette représentation permet ensuite de mettre en avant la « Frontière efficiente de Markowitz ».

En effet, nous pouvons voir que pour un même niveau de volatilité on peut obtenir un portefeuille avec une rentabilité supérieure. Graphiquement on identifie les portefeuilles optimaux lorsqu’ils sont sur la partie haute de la courbe soit supérieur au portefeuille de variance minimale.
Ce portefeuille de variance minimale (PVM) est le portefeuille où avec les pondérations obtenues, nous obtenons la variance la plus faible pour les actifs contenus dans le portefeuille. C’est-à-dire que pour l’ensemble de ces actifs il s’agit du portefeuille le moins risqué.
Ici le cercle rouge représente le PVM et la ligne rouge les portefeuilles efficients, les portefeuilles en dessous du PVM sont donc inefficients. C’est pourquoi la notion de rationalité des investisseurs est importante car il résulte de cette sélection un choix rationnel qui est « choisir le portefeuille A (en noir) plutôt que le B (en orange) qui me procure plus de rentabilité pour un même niveau de volatilité »

Ainsi, nous avons vu que Markowitz a introduit de nouveaux outils permettant de simuler et tester de nombreux portefeuilles, pour enfin choisir le portefeuille le plus efficient. Cette nouvelle approche permet de maîtriser un peu mieux le risque des portefeuilles, car grâce à Markowitz nous avons deux visions du risque. Le risque diversifiable et le risque non-diversifiable, le risque diversifiable est caractérisé par la covariance entre les actifs ce qui fait que l’on peut tenter de le minimiser, tandis que le risque non-diversifiable est quant à lui est représenté par l’écart-type des actifs soit le risque intrinsèque de l’entreprise.
Il faut toutefois garder à l’esprit que cette approche a été souvent critiquée pour ces hypothèses parfois trop simplistes comme l’efficience parfaite des marchés.

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